普遍係数定理

普遍係数定理（ふへんけいすうていり、英: universal coefficient theorems）とは、単項イデアル整域R上定義されたホモロジーやコホモロジーから、R-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。

定理はR-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。

準備

本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor関手、Ext関手を定義する。

ホモロジー

Rを可換環とするとき、整数nを添え字として持つR-加群${\displaystyle C_{n}}$と写像${\displaystyle \partial _{n}~:~C_{n}\to C_{n-1}}$の組${\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$で、

${\displaystyle \partial _{n-1}\circ \partial _{n}=0}$

となるものR上のチェイン複体といい、

${\displaystyle H_{n}(C_{*}):=\mathrm {Ker} (\partial _{n})/\mathrm {Im} (\partial _{n 1})}$

を${\displaystyle C_{*}}$のn次のホモロジー加群という。

コホモロジー

可換環Rに対し、${\displaystyle C^{*}=(C^{n},\delta ^{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$で${\displaystyle D_{*}:=(C^{-n},\delta ^{-n})_{n\in \mathbb {Z} }}$がR上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい、

${\displaystyle H^{n}(C^{*}):=H_{n}(D_{*})}$

を${\displaystyle C^{*}}$のn次のコホモロジー加群という。

Tor関手

Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とする。さらに短完全系列

${\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0}$

でA、Bが自由R-加群であるものを選び、

${\displaystyle 0\longrightarrow A\otimes _{R}N{\overset {\iota \otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}B\otimes _{R}N{\overset {p\otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}M\otimes _{R}N\longrightarrow 0}$

を考えると必ずしも完全系列にならない。そこで

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N):=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})}$

と定義する。${\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)}$の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した${\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)}$と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(\cdot ,\cdot )}$の事をTor関手という。

なお、Rが単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTorが定義できるが本項では割愛する。また${\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)}$の事を${\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}^{1}(M,N)}$と表記し、より一般に${\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}^{n}(M,N)}$（n≧0）を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。

Tor関手は以下の性質を満たす。

Rが単項イデアル整域であるので、M、Nが有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、MはRⁿと複数のR/(x_i)の直和で書け、Nも同様である。上述の1., 2.からTor_Rは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTor_Rを容易に計算できる。

Ext関手

Torのときと同様、Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とし、さらに短完全系列

${\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0}$

でA、Bが自由R-加群であるものを選ぶ。そして

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Hom} _{R}(M,N){\overset {p^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(B,N){\overset {\iota ^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(A)\to 0}$

を考えると必ずしも完全系列にはならない。そこで

${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N):=\mathrm {Coker} _{R}(\iota ^{*})}$

と定義する。ここでCokerは余核である。すなわち、${\displaystyle f~:~X\to Y}$に対し、${\displaystyle \mathrm {Coker} (f)=Y/\mathrm {Im} (f)}$である。

${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)}$の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)}$と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。

${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(\cdot ,\cdot )}$の事をExt関手という。

また${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)}$に関しても${\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)}$と同様、Rが一般の環の場合に対しても定義できるし、${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{n}(M,N)}$が定義できて${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)=\mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,N)}$であるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。

Ext関手は以下を満たす：

Tor_Rの場合と同様、Mが有限生成R-加群であれば、これらの性質からExt_Rを具体的に計算できる。

Torに関する普遍係数定理

ホモロジーの場合

次の定理が成立することが知られている：

上記の定理でαは${\displaystyle [c]\otimes _{R}m\in H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M\mapsto [c\otimes _{R}m]\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)}$と具体的に書ける。

なお、係数環 Rが${\displaystyle \mathbb {Z} }$でMが${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$の場合は、上記の定理はボックシュタイン・スペクトル系列の特別な場合に相当する。

${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$で各${\displaystyle H_{n}(C_{*})}$が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、${\displaystyle H_{n}(C_{*})}$は自由加群部分F_nと素数pに対する${\displaystyle T_{n,p}=\{x\in H_{n}(C_{*})\mid \exists m>0~:~p^{m}x=0\}}$の和で書ける。（有限個の素数pを除いて${\displaystyle T_{n,p}=0}$である）。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる：

コホモロジーの場合

チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う：

この短完全系列が${\displaystyle C^{*}}$、Mに関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。

また${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$で各${\displaystyle H^{n}(C_{*})}$が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。

M係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理

上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をMを係数に持つコホモロジー（例えばMを係数にもつ特異コホモロジー）に適用する場合は注意が必要である。

定義

これまで同様Rが単項イデアル整域とし、MをR-加群する。R上のチェイン複体${\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$に対し、

${\displaystyle \partial _{n}{}^{*}~:~\mathrm {Hom} _{R}(C_{n},M)\to \mathrm {Hom} _{R}(C_{n 1},M),~~c\mapsto c\circ \partial _{n 1}}$

と定義すると

${\displaystyle \partial _{n 1}{}^{*}\circ \partial _{n}{}^{*}=0}$

であるので${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }}$はコチェイン複体である。${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M)}$をMに関する${\displaystyle C_{*}}$の双対コチェイン複体（英: dual cochain complex）という。

ホモロジーの場合

Mに係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、

${\displaystyle H_{n}(C_{*};M)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)}$

${\displaystyle H_{n}(C_{*};R)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}R)=H_{n}(C_{*})}$

なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理の${\displaystyle H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)}$、${\displaystyle H_{n}(C_{*})}$を単純に置き換える事で、以下の系が従う：

コホモロジーの場合

一方、Mを係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、${\displaystyle C^{*}:=\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},R)}$としてやると、

${\displaystyle H^{n}(C_{*};R)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R))=H^{n}(C^{*})}$

であるが、${\displaystyle H^{n}(C_{*};M)}$の方は

${\displaystyle H^{n}(C^{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))}$

であり、コホモロジーの普遍係数定理における

${\displaystyle H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R)\otimes _{R}M)}$

とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら２つが等しくなり、Mを係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる：

Extに関する普遍係数定理

Ext関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。

前に述べたように、チェイン複体${\displaystyle C_{*}}$の双対コチェイン複体${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }}$に対し、Mを係数に持つコホモロジー加群を${\displaystyle H^{n}(C_{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*};M))}$により定義する。

このとき以下の定理がしたがう：

上述の定理においてαは${\displaystyle [\varphi ]\in H^{n}(C_{*};M)=H^{n}({\textrm {Hom}}_{R}(C_{*},M))}$に対し、${\displaystyle [c]\in H^{n}(C_{*})\mapsto \varphi (c)\in M}$という${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)}$の元を対応させる写像である。

${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$で各${\displaystyle H_{n}(C_{*})}$が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、${\displaystyle H_{n}(C_{*})}$は自由加群部分F_nと捩れ部分群部分${\displaystyle T_{n}}$の和で書ける。この事実とExtの性質を利用すると、以下がわかる：

上記により${\displaystyle \mathbb {Z} }$-係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はTorに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。

${\displaystyle H_{n}(C_{*})}$が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する：

上述の定理において、αは${\displaystyle [z]\otimes m\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)=H_{n}(C_{*};M)}$に対し、${\displaystyle [f]\in H^{n}(C_{*})\mapsto f(z)m\in M}$という${\displaystyle \mathrm {Hom} (H^{n}(C_{*}),M)}$の元を対応させる写像である。

関連項目

• キネットの定理

脚注

出典

注釈

参考文献

• 引用文献
  • Tammo tom Dieck (2008/9/15). Algebraic Topology. Ems Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society. ISBN 978-3037190487 
  • 河田敬義『ホモロジー代数』岩波書店〈岩波基礎数学選書〉、1990年11月8日。ISBN 978-4000078047。 
  • James F. Davis, Paul Kirk (2001/8/1). Lecture Notes in Algebraic Topology. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. ISBN 978-0821821602 

その他

• • Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage.
  • Kainen, P. C. (1971). “Weak Adjoint Functors”. Mathematische Zeitschrift 122: 1–9. doi:10.1007/bf01113560. 
  • 志甫, 淳『層とホモロジー代数』共立出版株式会社〈共立講座 数学の魅力5〉、2016年。ISBN 978-4-320-11160-8。 

外部リンク

• Universal coefficient theorem with ring coefficients Mathematics